മെറ്റീരിയലുകളുടെ ഒരു ആമുഖം: പ്രകൃതിയും ഗുണങ്ങളും (ഭാഗം 1: മെറ്റീരിയലുകളുടെ ഘടന)

പ്രൊഫ. ആശിഷ് ഗാർഗ്

മെറ്റീരിയൽ സയൻസ് ആൻഡ് എഞ്ചിനീയറിംഗ് വകുപ്പ്

ഇന്ത്യൻ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് ടെക്നോളജി, കാൻപൂർ

പ്രഭാഷണം – 07

ബ്രാവൈസ് ലാറ്റിസ്

ക്രിസ്റ്റലുകളിൽ സമമിതി

ഈ പ്രഭാഷണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ബ്രാവായ്സ് ലാറ്റിസുകളെയും ക്രിസ്റ്റലുകളിൽ സമമിതിയുടെ ആമുഖത്തെയും കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്യാൻ പോകുന്നു. അതിനാൽ, ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഹ്രസ്വ മായ പുനരാലോചന നൽകട്ടെ. കഴിഞ്ഞ വർഗത്തിലെ പ്രാകൃതവും പ്രാകൃതമല്ലാത്തതുമായ ജാലകങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു. മോട്ടിഫ് അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാനം എന്താണ്? ആറ്റങ്ങൾ, തന്മാത്രകൾ, അല്ലെങ്കിൽ മോട്ടിഫ് എന്നിവയുടെ ആപേക്ഷിക ഓറിയന്റേഷൻ നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ട പ്രാകൃത യൂണിറ്റുകളുടെ തരത്തെ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഇത് പ്രാകൃത ജാലകത്തിന്റെ നിർവചനം പിന്തുടരണം, അതായത്, പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെല്ലിനുള്ളിൽ, ഇത് ആവർത്തിക്കാവുന്ന യൂണിറ്റ് ആയിരിക്കണം, വിടവുകളോ നിർത്തലോ പാടില്ല, അത് ആവർത്തിക്കപ്പെടണം. അതിനാൽ, പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ട് തന്മാത്രകളുടെ ദിശ കണക്കിലെടുക്കേണ്ട സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ കോശമാണ് നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതെങ്കിൽ, അത് ആവർത്തിക്കാൻ കഴിയുന്നതരത്തിൽ ആയിരിക്കണം. ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ ഇനങ്ങൾക്കും സമാനമായ അയൽപക്കമാണ് ഇതിന്.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 01:28)

അതിനാൽ, ഞാൻ ഇപ്പോൾ അടുത്ത വിഷയത്തിലേക്ക് പോകട്ടെ. 3-ഡിയിൽ 7 ക്രിസ്റ്റൽ സിസ്റ്റങ്ങളും 14 ബ്രാവൈസ് ലാറ്റിസുകളും ഉണ്ട്. മാത്രമല്ല, ഒരു ക്യൂബിക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, മുഖം കേന്ദ്രീകൃത ക്യുബിക് അല്ലെങ്കിൽ ബോഡി-കേന്ദ്രീകൃത ക്യുബിക് ലാറ്റിസ് പോലുള്ള ഓരോ പ്രാകൃതമല്ലാത്ത ലാറ്റിസും ലാറ്റിസ് പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ച് പ്രാകൃത ജാലകങ്ങളുടെ എണ്ണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടു. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബോഡി കേന്ദ്രീകൃത ക്യുബിക്ക് രണ്ട് ലാറ്റിസ് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് ഇത് രണ്ട് പ്രാകൃത ക്യുബിക് ലാറ്റിസുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. അതുപോലെ, മുഖം കേന്ദ്രീകൃത ക്യുബിക് ലാറ്റിസിന് നാല് ലാറ്റിസ് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്, ഇത് നാല് പ്രാകൃത ലാറ്റിസുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, പ്രാകൃതമല്ലാത്ത ജാലകങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പ്രാകൃത മായ ജാലകങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ വരയ്ക്കാൻ ഒരാൾക്ക് കഴിയണം.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 02:40)

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്രാകൃത ജാലകമായ ഇത് 2ഡിയിലാണ്. ഇതിൽ, നമുക്ക് ഉള്ളത് ആറ്റങ്ങളുടെ ഒരു നിരയാണ്. ആദ്യത്തെ പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ ഞങ്ങൾ വരച്ചിട്ടുണ്ട്, എ₁ ഒരു പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ആണ്, എ₂ ഒരു പ്രാകൃത ജാലകമാണ്. എന്നാൽ, പ്രാകൃത കോശത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് അതുല്യമല്ല, അടിസ്ഥാനപരമായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് കോശത്തിന് കാരണമായേക്കാവുന്ന ഏത് പ്രാകൃത വെക്ടറും തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടറുകൾ ഉണ്ട് എ₁', എ₂'എന്നിരുന്നാലും, ഇത് എ2 പോലെയല്ല, എ₂' ഈ ആറ്റം മുതൽ ആ ആറ്റം വരെ, പക്ഷേ ഇത് ഇപ്പോഴും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ നൽകുന്നു, ഈ രണ്ട് കോശങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം പരസ്പരം തുല്യമാകാൻ പോകുന്നു. മൂന്നാമത്തേതിൽ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, നിങ്ങൾ പറയുന്നു എ₁", ഉം എ₂". അതിനാൽ, പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടറുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്, നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നിലധികം ചോയ്സുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ആ രണ്ട് വെക്ടറുകളിൽ നിന്നോ 3-ഡിയിലെ ആ മൂന്ന് വെക്ടറുകളിൽ നിന്നോ ഒരു പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുന്നിടത്തോളം ഇത് ഒരു നിശ്ചിത ചോയ്സ് അല്ല. അതുപോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് എ₁''', നിങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്ന യൂണിറ്റ് സെൽ ഒരു പ്രാകൃതമല്ലാത്ത യൂണിറ്റ് സെൽ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, ഇത് വലുതാണ്.

അതുപോലെ, പ്രാകൃതമല്ലാത്ത യൂണിറ്റ് സെല്ലുകൾക്കും ഒന്നിലധികം ചോയ്സുകൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രാകൃതമല്ലാത്ത യൂണിറ്റ് സെൽ ഉണ്ടായിരിക്കാം, ഇത് ഒരു ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ആകാം, അല്ലെങ്കിൽ അത് ഒരു ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ആകാം. അതിനാൽ, ഞാൻ ഊന്നിപ്പറയാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ വെക്ടറുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഒന്നിലധികം ആണ്. എന്തുകൊണ്ടാണ് ആ വെക്ടറുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നത്?

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 04:38)

ബിസിസിയിൽ, ആദ്യ സെറ്റ്,

ഇപ്പോഴും നിർമ്മിച്ച പ്രാകൃത ലാറ്റിസിലെ വെക്ടറുകളുടെ ഈ സെറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് പകരമായി വെക്ടറുകളുടെ സെറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കാം, ഇത് ബിസിസിയിൽ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് സമമിതിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒന്നിലധികം സാധ്യതകളുണ്ട്. ഇത് ഒരു ബിസിസി യൂണിറ്റ് സെൽ ആണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അവിടെയുള്ള ആറ്റങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് മധ്യത്തിലുള്ള ഒന്നാണ്, ഇത് വലതുവശത്താണ്, ഇത് താഴെയുള്ള ആറ്റമാണ്, ഇത് എവിടെയോ ദോഷകരമായ ആറ്റമാണ്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ നിന്ന് ഇങ്ങോട്ട് തിരഞ്ഞെടുക്കാമായിരുന്നു, ഇത് ഒരു ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ആകാം. അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ പോയിന്റ് ഒരു ഉത്ഭവമായി എടുക്കുന്നു, അതുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ അവിടെയുള്ള ആറ്റം തിരഞ്ഞെടുത്തത്. അതിനാൽ, ഇത് വൈ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, ഇത് എക്സ് ആണ്, ഇത് ഇസഡ് ആണ്. അതിനാൽ, ഈ വെക്ടർ ഈ ദിശയിൽ, വൈ പകുതിയാണ്; ഇസഡിന്റെ പകുതി, ഇത് ഈ ദിശയും തുടർന്ന് എക്സ് പകുതിയും. അതിനാൽ, ഇത് നിങ്ങളെ ശരിയായി അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, എക്സ് ഈ ദിശയിലാണ് ഈ ആറ്റം കോശത്തിനുള്ളിലാണ്, ഇത് നിങ്ങളുടെ മുന്നിലുള്ള കോശത്തിന് പുറത്താണ്, ഇത് യൂണിറ്റ് സെല്ലിലെ മധ്യ ആറ്റത്തിന്റെ വലതുവശത്താണ്, ഇത് യൂണിറ്റ് സെല്ലിലെ കേന്ദ്ര ആറ്റത്തിന്റെ അടിഭാഗമാണ്. അതിനാൽ, ആ സെറ്റ് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും,

ഈ വെക്ടറുകൾ തിരുത്തുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് സെൽ ഇതുപോലെ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലാറ്റിസ് ഉണ്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ലാറ്റിസ് പരിഭാഷയുണ്ട്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ അവരെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, നിങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട് പോലുള്ള എന്തെങ്കിലും നിങ്ങൾ അവസാനിപ്പിക്കണം. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു പ്രാകൃത കോശമാണ്, വോളിയം ഒരു പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് സെൽ വോളിയത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 07:53)

ഇത് എഫ്സിസിയുടെ കാര്യത്തിലാണ്, നിങ്ങൾക്ക് വെക്ടറുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അതിനാല് ഇതൊരു ഉല് പത്തിയായി തെരഞ്ഞെടുക്കുക. ഇത് എ1 , എ2 , ഇത് എ3 ആണ് . അതിനാൽ, അതിന്റെ ഫലമായി മൂന്ന് മുഖകേന്ദ്ര ആറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന കോർണർ ആറ്റങ്ങൾ,

നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ഉത്ഭവം വ്യത്യസ്തമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ വെക്ടറുകളും അടയാളങ്ങളും മാറും. അതിനാൽ, ഈ മൂന്ന് വെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ കണക്റ്റ് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ക്യൂബിനുള്ളിൽ ഈ പാരലലോഗ്രാം അല്ലെങ്കിൽ പാരലൽപൈപ്പ് ലഭിക്കും. ഇതാണ് പ്രാകൃത കോശം. പ്രാകൃതമല്ലാത്ത യൂണിറ്റ് സെൽ പ്രാകൃതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു? ഏറ്റവും ഹ്രസ്വമായ ലാറ്റിസ് പരിഭാഷ വെക്ടർ എന്താണ്? അതാണ് നാം കാണുന്നത്, അതിനാൽ, അത് പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ആണ്, ഇത് പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ആണ്, കാരണം ഒരു പ്രാകൃത കോശം രണ്ട് പ്രാകൃത കോശങ്ങൾ ചേർന്നതാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രാകൃതമല്ലാത്ത കോശത്തിനുള്ളിൽ ഒരു പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടർ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 10:01)

പ്രാകൃതമല്ലാത്ത ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ഒരു ക്യൂബ് ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, പ്രാകൃതമല്ലാത്ത ലാറ്റിസ് വെക്ടർ ഇത് ആയിരിക്കും, അതും അതും ആയിരിക്കും, എന്നാൽ ഇവ പ്രാകൃത ലാറ്റിസ് വെക്ടറുകൾ ഉള്ള ഏറ്റവും ഹ്രസ്വമായ ലാറ്റിസ് പരിഭാഷ വെക്ടറാണ്.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 10:18)

അതിനാൽ, ഞാൻ നിങ്ങളോട് 2-ഡി ലാറ്റിസുകൾ വരയ്ക്കാൻ ആവശ്യപ്പെട്ട മുൻ ക്ലാസുകളിൽ ഒന്നിൽ ഞാൻ കരുതുന്നു. അതുകൊണ്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തേത് കാണാൻ കഴിയുന്ന സാധ്യതകൾ കുറവാണ്, എ സമമല്ല ബി θ 90 ന് തുല്യമല്ല⁰. മറ്റ് രണ്ട് സാധ്യതകൾ എ സമമല്ല ബി, പക്ഷേ θ 90 ന് തുല്യമാണ്⁰മൂന്നാമത്തേതും. എ സമമല്ല ബി, θ 90 ന് തുല്യമാണ്⁰പക്ഷെ നിനക്ക് ആറ്റമുണ്ട് . എ മദ്ധ്യത്തിൽ. അതിനാൽ, ഇത് ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കേന്ദ്രീകൃത ജാലകമാണ്. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു ചരിഞ്ഞ ജാലകമാണ്, ഇത് ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ളതും കേന്ദ്രീകൃതവുമായ ഒന്നാണ്, ഇത് ഷഡ്ഭുജമാണ് എ സമം ബി, θ 120 ന് തുല്യമാണ്⁰പിന്നെ നിനക്ക് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു ജാലകമുണ്ട് . എ സമം ബി θ 90 ന് തുല്യമാണ്⁰.

അതിനാൽ, ഈ സാധ്യതകൾ 2ഡി, ബ്രാവൈസ് ലാറ്റിസുകളുടെ അഞ്ച് സാധ്യതകൾ. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പ്രാകൃതവും പ്രാകൃതമല്ലാത്തതുമായ യൂണിറ്റ് സെല്ലിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു, പ്രാകൃത യൂണിറ്റ് കോശങ്ങളുടെ ഒന്നിലധികം സാധ്യതകളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കീ പറഞ്ഞു. ക്രമീകരണങ്ങളുടെ തരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരാൾക്ക് ഒരു ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കാം, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമാന്തര ഗ്രാം ഉണ്ടായിരിക്കാം. അതിനാൽ, ഒന്നിലധികം സാധ്യതകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു; ഒരു യൂണിറ്റ് സെല്ലിന് ഒരു ലാറ്റിസ് പോയിന്റ് മാത്രമേ അവർക്കുള്ളൂ. ചോദ്യം, നിങ്ങൾ എങ്ങനെ ഒരു മാനദണ്ഡം നിർവചിക്കുന്നു? അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഒന്നിലധികം സാധ്യതകളുമായി അവസാനിക്കാതിരിക്കാൻ. ചില മാനദണ്ഡങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ അവയെ എങ്ങനെ യോജിക്കുന്നു, അവിടെയാണ് ഈ ക്രിസ്റ്റൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സിസ്റ്റം നിലവിൽ വന്നത്. ലാറ്റിസ് പാരാമീറ്ററുകളെയും അവയുടെ പരസ്പരബന്ധങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ക്രിസ്റ്റൽ സിസ്റ്റം അനുസരിച്ച് വർഗ്ഗീകരണം.

അപ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ മാനദണ്ഡം എങ്ങനെ ലഭിക്കും? സമമിതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിങ്ങൾക്ക് ഇത് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെയാണിത്. അതിനാൽ, ടെട്രാഗോണുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ക്യൂബ് കൂടുതൽ സമമിതിയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് സഹജമായി കഴിയും, കാരണം ഒരു ക്യൂബിന് മൂന്ന് തുല്യ വശങ്ങളുണ്ട്, അതിന് എല്ലാ 90 ഉണ്ട്⁰ ആംഗിളുകൾ, ടെട്രാഗോണിൽ എല്ലാ 90 ഉണ്ട്⁰ ആംഗിൾ, എന്നാൽ മറ്റ് രണ്ടെണ്ണവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വ്യത്യസ്തമായ ഒരു വശമുണ്ട്. ഈ മാനദണ്ഡം എന്താണെന്ന് ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നുണ്ടോ? ഈ മാനദണ്ഡം വികസിപ്പിക്കാൻ ചില ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫി സമമിതി പരിഗണനകൾ പിന്തുടരേണ്ടതുണ്ട്. അടുത്ത ഏതാനും മിനിറ്റുകൾക്കുള്ളിൽ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ആ സമമിതി മാനദണ്ഡം ഏറ്റെടുക്കും.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 13:10)

അതിനാൽ, ക്രിസ്റ്റലുകളിൽ സമമിതി എന്ന ഈ പേരിൽ നിന്ന് നാം ഇപ്പോൾ ആരംഭിക്കുന്നത് എന്താണ്, എന്തുകൊണ്ട് നാം മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്? അതിനാൽ, ക്രിസ്റ്റൽ സിസ്റ്റം വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെയും ബ്രാവായ്സ് ലാറ്റിസിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിന്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിന് പിന്നിലെ യുക്തി നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും. ഇത് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയമാണ്. അതിനാൽ, നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഈ കോഴ്സിൽ, ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക്സിന്റെ പൂർണ്ണമായ വശങ്ങൾ ചുറ്റിക്കറങ്ങാൻ ഞങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത്ര സമയമില്ല, പക്ഷേ അതിനെ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണം എന്നതിൽ ലളിതമായ അടിസ്ഥാനം സ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും. അപ്പോൾ, സമമിതി എന്താണ്?

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 14:09)

അതാണ് ആദ്യത്തെ ചോദ്യം. അതിനാൽ, ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം, സമമിതി ഒരു ഓപ്പറേഷൻ ആണ്, ഇത് ഒരു വസ്തുവിനെ അതിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയാണ്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞാൻ ഈ ചതുരം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ എനിക്ക് നിർവഹിക്കാൻ കഴിയുന്ന സമമിതി പ്രവർത്തനം എന്താണ്, അങ്ങനെ അത് ഒരേ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ചത്വരത്തിന്റെ ഒരു കേന്ദ്രമായി ഞാൻ ഇത് തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞാൻ ഇത് 90 ആക്കും എന്നതാണ് സാധ്യമായ ഒരു ഓപ്ഷൻ⁰ ഈ അച്ചുതണ്ടിനു ചുറ്റും കറക്കം. അതിനാൽ, അച്ചുതണ്ട് പേപ്പറിന്റെ വിമാനത്തിന് ലംബമാണ്. അതിനാൽ, ഞാൻ 90 അപേക്ഷിച്ചാൽ⁰ ഭ്രമണം, പിന്നെ ഇത് വീണ്ടും അതേ വലതുവശത്ത് കാണപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലേക്ക് തിരികെ വരുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു 90 ആണ്⁰ ഭ്രമണം. അതിനാൽ, ഇതിനെ ഒരു റൊട്ടേഷൻ സമമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതുപോലെ, നിങ്ങൾ ഒരു ത്രികോണം, സമതല ത്രികോണം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ നിങ്ങൾ എന്ത് പ്രവർത്തനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്? അതിനാൽ, ഇത് ത്രികോണത്തിന്റെ കേന്ദ്രമാണ്, ഞാൻ ഒരു 120 നൽകുന്നു⁰ ഭ്രമണം. അതിനാൽ, അത് ഒരേ ആകൃതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, വസ്തുവിനെ ഒരേ ആകൃതിയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ നിങ്ങൾക്ക് നിർവഹിക്കാൻ കഴിയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രമാണ് ഇവ. അതിനാൽ, നാം മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് അവയുടെ സമമിതി ലാറ്റിസുകളെ തരംതിരിക്കുന്നതുകൊണ്ടാണ്.

അതിനാൽ, ഈ ഭ്രമണം മാത്രമല്ല, ഇത് ഒരു സമമിതി ഘടകമാണ്. ഒന്നിലധികം സമമിതി ഘടകങ്ങളുണ്ട്. അപ്പോൾ, ഈ സമമിതി ഘടകങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അതിനാൽ, ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, സമമിതി ഒരു ഓപ്പറേഷൻ ആണ്, നിങ്ങൾ ഒരു വസ്തുവിൽ പ്രകടനം നടത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ സ്വയം യാദൃച്ഛികതയുടെ അവസ്ഥയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സമമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ തരം സമമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഏതൊക്കെയാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ നോക്കാം?

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 16:31)

അതിനാൽ, സമമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ, ആദ്യത്തേത് വിവർത്തന സമമിതിയാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ 1-ഡി ലാറ്റിസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പറയട്ടെ, നിങ്ങൾക്ക് 1-ഡി ലാറ്റിസിന്റെ ഈ കേസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇവിടെ ഒരു ആറ്റം ഇടുക. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, നിങ്ങൾ ഈ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ആ പോയിന്റിലേക്ക് ഒരു വെക്ടർ ടി വഴി നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, 1-ഡിയിലെ പോയിന്റുകളുടെ അനന്തമായ നിരയിൽ, ഈ ലാറ്റിസ് പരിഭാഷ വെക്ടർ ടി, സ്വയം യാദൃച്ഛികതയുടെ അവസ്ഥയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, കാരണം ഈ പോയിന്റ് ആ പോയിന്റിന് സമാനമാണ്, തുടർന്ന് ഇത് ഒരു പരിഭാഷയാണ്. അതിനാൽ, ഇത് വിവർത്തന സമമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു കേസാണ്, ഇത് 1-ഡിയിലെ നിർവചിക്കുന്ന സമമിതിയാണ്. അതിനാൽ 1-ഡിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിവർത്തന സമമിതി ഉണ്ടായിരിക്കണം.

ഇപ്പോൾ, ഞാൻ ചുറ്റുമുള്ള മോട്ടിഫ് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, അതിനാൽ, ഇത് വീണ്ടും 1-ഡിയിലാണ്. അവിടെ ഒരു ആറ്റമായി മോട്ടിഫ് സൂക്ഷിക്കുന്നതിന് പകരം, ഞാൻ ഇതുപോലെ മോട്ടിഫ് സൂക്ഷിക്കുന്നു. അപ്പോൾ, എനിക്കിവിടെ എന്തുണ്ട്? എനിക്ക് ട്രാൻസ്ലേഷൻ ടി ഉണ്ട്, പക്ഷേ എനിക്ക് കണ്ണാടി സമമിതിയും ഉണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഈ ചെറിയ മോശമാക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ഉണ്ടാക്കിയാൽ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ണാടി അപ്രത്യക്ഷമാക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഇത് ഇരുണ്ടതായി മാറുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അതിനാൽ, കണ്ണാടി ശരിയായി അപ്രത്യക്ഷമായി, പക്ഷേ ഇപ്പോൾ മോട്ടിഫ് ആയതിനാൽ അതിന് ഇപ്പോഴും ഉണ്ട്. അതിനാൽ, മോട്ടിഫ് തുടക്കത്തിൽ എ ആയിരുന്നു, ഇപ്പോൾ അത് എഎ ആണ്, ഇപ്പോൾ മോട്ടിഫ് എബി ആണ്. 1-ഡി-യിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ട്രാൻസ്ലേഷൻ, മിറർ അല്ലെങ്കിൽ റിഫ്ലെക്ഷൻ പോലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും. അവർ 1-ഡി, 2-ഡി, 3-ഡി അപേക്ഷിക്കുന്നു, എന്നാൽ 1-ഡി സാധ്യമായ രണ്ട് കേസുകൾ ഈ 2 ആണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് അൽപ്പം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണതയിലേക്ക് പോകാം.

(സ്ലൈഡ് സമയം കാണുക: 20:18)

2-ഡിയിൽ, റൊട്ടേഷൻ മൂലകത്തിന്റെ ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞാൻ ഈ ലാറ്റിസ് ഇസഡ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് സ്വയം യാദൃച്ഛികമാക്കാൻ ഞാൻ അതിൽ നൽകേണ്ട ഭ്രമണം എന്താണ്? എനിക്ക് 180 ഓടെ ഇത് തിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്⁰. അതിനാൽ, ഞാൻ 180 ഓടെ ഈ പോയിന്റിൽ കറങ്ങുകയാണെങ്കിൽ⁰, അത് ഒരേ ആകൃതിയായി മാറും. റൊട്ടേഷണൽ സമമിതിയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഫോൾഡ് എൻ-ഫോൾഡ് സമമിതി എന്നാണ് ഞങ്ങൾ ഇതിനെ നിർവചിക്കുന്നത്.

അതിനാൽ, എൻ സമമിതിയുടെ മടക്കുകളുടെ എണ്ണം ആണ്, ഇത് എന്താണ്? എൻ 360 ന് തുല്യമാണ്⁰ താത്ത അഥവാ ഭ്രമണകോണാൽ വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് ഭ്രമണത്തിന്റെ കോണാണ്. അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എന്തായിരിക്കും എൻ? ഇത് 2 ആയിരിക്കും. ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഇതിൽ നിന്ന് ഒരു 2-ഡി ലാറ്റിസ് ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയും? ഒരു സമതല ത്രികോണത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, θ 120 ന് തുല്യമായിരിക്കും⁰, θ 90 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ എൻ 3 ന് തുല്യമായിരിക്കും⁰, എൻ 4 ന് തുല്യമാണ്.

മാത്രമല്ല, നിങ്ങൾ കുറച്ച് പൂക്കൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വളരെ സമമിതിയല്ല, പക്ഷേ. അതിനാൽ, ചില പൂക്കൾക്ക് 5 ഇതളുകൾ മികച്ചതാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ 5 ഇതളുകൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഇവിടെ നിങ്ങൾ 72 റൊട്ടേഷൻ നൽകേണ്ടതുണ്ട്⁰, 5 മടങ്ങ്. നിങ്ങൾ ഐസ് പാളികൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഇതുപോലുള്ള കാര്യങ്ങൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ 6 മടങ്ങ് സമമിതിയാണ്. അതിനാൽ, ഇവിടെ നിങ്ങൾ 60 റൊട്ടേഷൻ നൽകേണ്ടതുണ്ട്⁰, ഈ എൻ 6 ന് തുല്യമായിരിക്കും, നിങ്ങൾക്ക് 45 ഉണ്ടെങ്കിൽ എട്ട് മടങ്ങ് സമമിതി പോലുള്ള കാര്യങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടായേക്കാം⁰ ചില വസ്തുക്കളുടെ കാര്യത്തിൽ ഭ്രമണം.

അതിനാൽ, 7 മടങ്ങ് സമമിതിഇല്ല, 13 മടങ്ങ്; 11 മടങ്ങ്, അവയെല്ലാം ഇവിടെ ഇല്ല. അതിനാൽ, അതിന്റെ വിശദാംശങ്ങളിലേക്ക് എനിക്ക് പ്രവേശിക്കാൻ കഴിയാത്തതിന്റെ ഗണിതപരമായ അടിസ്ഥാനമുണ്ട്, പക്ഷേ 7, 11 നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ, 9 കാണാനില്ല, 9 മടങ്ങ് ഇല്ല എന്ന് കാണാൻ കഴിയും; 13 മടങ്ങ് അവിടെയില്ല. ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിയിൽ 5 മടങ്ങ് പോലും അനുവദനീയമല്ല, കാരണം അത് സ്ഥലം നിറയ്ക്കുന്നില്ല.

പോയിന്റ് കാണുക, നിങ്ങൾക്ക് ആ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഭ്രമണം നടത്താൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഒരു വസ്തു സ്ഥലം നിറയ്ക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ. ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിയിൽ, പ്രധാന കാര്യം, ക്രിസ്റ്റൽ ക്രിസ്റ്റലൈൻ മെറ്റീരിയലുകളിൽ, പ്രവർത്തനം സ്ഥലം നിറയ്ക്കണം എന്നതാണ്. അതിനാൽ, 5 മടങ്ങ് വസ്തു സ്ഥലം നിറയ്ക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, തത്ഫലമായി, ക്രിസ്റ്റലൈൻ മെറ്റീരിയലുകൾ 5 മടങ്ങ് സമമിതി കാണിക്കുന്നില്ല. മെറ്റീരിയലിന്റെ മറ്റൊരു ക്ലാസ് ഉണ്ട്, ഇത് 5 മടങ്ങ് സമമിതിയെ ക്വാസി ക്രിസ്റ്റലൈൻ മെറ്റീരിയലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവ സന്തുലിതമല്ലാത്ത വസ്തുക്കളാണ്.

അതിനാൽ, അതുപോലെ, മറ്റ് സമമിതികളും ആ വസ്തുക്കൾ 10 മടങ്ങ് സമമിതി അല്ലെങ്കിൽ 9-മടങ്ങ് സമമിതി കാണിക്കുന്നു, ചില വസ്തുക്കൾ അവ കാണിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ സാധാരണയായി ക്രിസ്റ്റലൈൻ വസ്തുക്കളിൽ കാണപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ക്രിസ്റ്റലൈൻ മെറ്റീരിയലുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതലും താൽപ്പര്യമുള്ളത് എൻ-ഫോൾഡ് 2-ഫോൾഡ്, 3-ഫോൾഡ്, 4-ഫോൾഡ്, 6-ഫോൾഡ്, 1-ഫോൾഡ് സമമിതി എന്നിവയാണ്. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ, ഞാൻ വരച്ച ഈ ജാലകത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരികെ വരാം. അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഈ ജാലകത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് അത് കാണാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, ഞാൻ ഈ പോയിന്റിന് ചുറ്റും ഒരു ഭ്രമണം നൽകുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു 2-മടങ്ങ് ഭ്രമണം പോലും സാധ്യമാണ്, 3-മടങ്ങ് സാധ്യമാണോ? 3 മടങ്ങ് സാധ്യത ഇല്ല. 4 മടങ്ങ് സാധ്യമാണ്. 6-മടങ്ങ്, 5-മടക്ക് സാധ്യമല്ല. അതിനാൽ, ഇതിന് 2 ഉം 4 ഉം ഉണ്ട്. അതിനാൽ, തീർച്ചയായും, ഈ പോയിന്റിന് ചുറ്റും, ഇതിന് 4 മടങ്ങ് ഉണ്ടാകും, പക്ഷേ ഈ പോയിന്റുകളിൽ നിങ്ങൾക്ക് 2 മടങ്ങ് ലഭിക്കും. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഓരോ പോയിന്റും പരമാവധി സാധ്യമായ സമമിതിയിലൂടെ നിർവചിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ കേന്ദ്രം, ഇത് നിങ്ങൾക്ക് 4 മടങ്ങ് നൽകും. അതിനാൽ, ഇത് നിങ്ങൾക്ക് 2-മടങ്ങ് നൽകാൻ കഴിയുമെങ്കിലും, നിങ്ങൾ 4-മടങ്ങ് ചിത്രീകരിക്കുന്നു, കാരണം 4-മടങ്ങ് ഈ പോയിന്റിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് നേടാൻ കഴിയുന്ന ഉയർന്ന സമമിതിയാണ്. അതിനാൽ, സമാനമായി, ഈ പോയിന്റുകൾ ചുറ്റും, ഇവ 2 പോയിന്റുകളായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു, കാരണം അവ നിങ്ങൾക്ക് 4 മടങ്ങ് നൽകാൻ കഴിയില്ല. അവർക്ക് നിങ്ങൾക്ക് 2 മടങ്ങ് മാത്രമേ നൽകാൻ കഴിയൂ. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഈ സമമിതി പോയിന്റുകൾ ഈ രീതിയിൽ ലാറ്റിസിലെ റൊട്ടേഷണൽ സമമിതി പോയിന്റുകൾ ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ലാറ്റിസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞാൻ സമമിതിയുള്ളതോ വൃത്താകൃതിയിലുള്ളതോ ആയ ഒരു മോട്ടിഫ് തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 2-ഫോൾഡും 4 മടങ്ങും ലഭിക്കും, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പറയാം, ലാറ്റിസ് ഒരു ചതുരമാണ്, പക്ഷേ ഞാൻ ഈ ത്രികോണങ്ങൾ കൊണ്ട് മോട്ടിഫ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞാൻ ഇപ്പോൾ മോട്ടിഫ് മാറ്റി. ഇതിന് 4-മടങ്ങ് അല്ലെങ്കിൽ 2-മടങ്ങ് സമമിതി ഉണ്ടോ?

ഇതിന് 2 മടങ്ങ് ഇല്ല, ഇല്ല, ഇതിന് 4 മടങ്ങ് ഇല്ല. അതിനാൽ, ഞാൻ ഇവിടെ ഊന്നിപ്പറയാൻ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്, സമമിതിഎന്ന് തോന്നുന്നതിന്റെ പരമ്പരാഗത നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് പോകാൻ കഴിയില്ല. ഈ നിർവചനങ്ങൾ സമമിതി യിലൂടെ നാം പോകേണ്ടതുണ്ട്, ഇത് വളരെ നിർദ്ദിഷ്ടമാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു ചതുര ഗ്രിഡ് പോലെ തോന്നുന്നുവെങ്കിലും, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ചതുര ലാറ്റിസ് അല്ല, കാരണം ഇത് 4-മടങ്ങ് പിന്തുടരുന്നില്ല, ഇതിന് 4-മടങ്ങ് സമമിതി ഇല്ല, ഇതിന് 3-മടങ്ങ് സമമിതി പോലും ഇല്ല, കാരണം നിങ്ങൾ 3-മടങ്ങ് സമമിതി പ്രവർത്തനം നടത്തിയാൽ, അത് ഒരേ പ്രവർത്തനം ആയി തുടരുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇതിന് 1-മടങ്ങ് സമമിതി മാത്രമേയുള്ളൂ. ഇതിന് 1-മടങ്ങ് സമമിതി, ഭ്രമണ സമമിതി മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിയിൽ, ഒരു ക്യൂബ് ഒരു ക്യൂബ് ആയിരിക്കില്ല; ക്യൂബിന് പ്രത്യേകമായ സമമിതിയുടെ ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഞാൻ കുറച്ച് സമയത്തിനുള്ളിൽ വരും. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇവിടെ കാറ്റടിക്കാം, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അടുത്ത പ്രഭാഷണത്തിലേക്ക് പോകാം.